超材料SRR-wire單元和等效材料參數(shù)提取CST仿真實例
這一期我們看超材料中經(jīng)典的SRR-wire單元，背部加上導線的缺口環(huán)形共振器，作為左手材料（LHM）或雙負材料（DNG）的基礎，演示等效材料提取方法。
Step1. 單元的建模與仿真
這里基板尺寸5x5x1mm，材料介電常數(shù)epsilon為3.84，tangD=0.008，頻率范圍5-12GHz; 金屬為PEC薄片，厚度0.017mm。邊長、間距、開口、寬度都可自由定義分析，會影響震蕩頻率和帶寬。
Z方向為磁場極化，PMC邊界，磁場穿過缺口環(huán)形中心，產(chǎn)生磁震蕩；Y方向為電場極化，PEC邊界，電場順著導線方向，產(chǎn)生電激勵。
X方向對稱，PEC邊界，各增加一定背景距離，定義兩端波導端口并將參考面移至SSR，這樣可以保證相位從SSR邊緣開始算，并且端口接觸材料為均勻背景空間。Z方向上背景距離加2mm, 所以等效的單元為中間部分5x5x5mm的正方體，等效厚度為X方向上的5mm。
這里我們只激勵端口一，模式一，提高精度后，F(xiàn)和T不同算法算出來的S參數(shù)結果比較是非常準確的?？梢灶A測震蕩頻率應該在9GHz附近。
Step 2. 提取等效材料參數(shù)
運行后處理S-Parameter ->Extract Material Properties from S-Parameters。該后處理基于文獻[1]，是一種S參數(shù)反演法。這里S參數(shù)我們用之前兩個求解器的結果之一，有效厚度便是X方向上的5mm。m是文獻中的折射率n實部的”branch index”，是針對復自然對數(shù)或反三角函數(shù)的無窮個數(shù)解的嚴謹定義。這里設默認0即可，適用于單元等效厚度遠小于波長。
運行之后，新的結果文件夾生成，相關材料參數(shù)都有。z是相對阻抗，n是等效折射率，ExpTerm是文獻中的指數(shù)表達式。
等效的介電常數(shù)Epsilon_r和磁導率Mu_r如下圖，可以看到在8.8-9.2GHz左右便為左手材料雙負區(qū)域。在震蕩頻率附近或有S參數(shù)噪音區(qū)域，該文獻[1]的方法也不能完全保證虛部在所有頻率大于零的無源性。比如我們看到提取的Epsilon在8.8GHz有一點點波動(反共振)，這種非勻質性問題很多文獻都有討論過，比如[2]。
或直接查看折射率n，也可以清晰看到負折射率區(qū)域。
然后這些等效的材料數(shù)據(jù)可以ASCII格式導出，用于等效單元。
Step 3. 等效單元驗證
新建一個CST模型，5x5x5mm的正方體，兩邊端口同樣推參考面到結構。
正方體的材料為新定義的材料名bulk，類別為normal，dispersion用導入上一步導出的材料參數(shù)。
雖然是提取的參數(shù)直接導入，但求解之前材料自動擬合還需要一個過程，本案例用高階的擬合，同時忽略8.8GHz的小波動，下圖為求解器擬合（Fit）的效果查看，然后可以開始仿真。
仿真結果基本相同，這里SRR是取之前T和F兩個驗證過的結果之一。這里表示該正方體加上bulk材料能夠等效準確地代替之前的SRR結構。
為了了解結構的傳播特性，可以加3D場監(jiān)視器。下面的磁場傳播動圖便可看出在8.85GHz，等效盒子內(nèi)的傳播是反方向的。注意這里激勵信號從-X方向輸入（從左到右傳播），若背景距離長一些則視覺效果更好。
通過以上三個步驟，我們就得到了所謂左手材料的等效結構和等效材料參數(shù)。
補充內(nèi)容1.
接下來補充另一個等效材料的建模，利用冷等離子材料的Drude模型，結合磁共振常用的Lorentz模型。也就是說，我們可以選擇不用上述提取再導入的方法，這次換成Drude-Lorentz模型直接生成材料曲線。材料定義界面，輸入以下參數(shù)便可以大致擬合出我們得到的兩條材料曲線。當然，這些參數(shù)需要一定數(shù)學優(yōu)化工作和經(jīng)驗值范圍加快優(yōu)化效率。
Drude的參數(shù)相對容易（公式參考help），可根據(jù)定義來調試，無窮大處的epsilon為常數(shù)，用來調整個色散曲線的高度。等離子頻率越高，epsilon越低，可以調色散曲線的斜度，最后碰撞頻率量級較小，影響不大。Lorentz的參數(shù)復雜一點（公式參考help），無窮大處的Mu一般就是1多一點，靜磁場Mu比無窮大處的Mu大一點，差值決定總體Mu的水平。Resonance frequency 就輸入我們觀察到的8.8GHz的振蕩頻率，Damping frequency 用來調整震蕩的幅值。
這里們比較Drude-Lorentz生成的材料曲線和由S參數(shù)反演（后處理模板）提取曲線比較，二者差別也不大。
最后，對應的S參數(shù)結果三種方法大致相同。當然，要想更精確，材料的實部虛部都要擬合的更好。
有了等效材料，就可以根據(jù)需要替代SRR-wire單元，比如這個喇叭天線：
左圖為右手材料頻率，右圖為左手材料頻率：
圖片來源和更多超材料資料請看：https://discover.3ds.com/behavior-of-metamaterials
最后劃重點：
1）單元分析震蕩頻率是超材料分析的第一步。
2）S參數(shù)的反演法獲取等效材料曲線由CST后處理完成，比較簡單。
3）Drude－Lorentz模型獲取等效材料曲線需要手動擬合，比較復雜。
4）兩種辦法擬合的都不錯，但都不算完美，有更好的提取或擬合文獻歡迎討論。
5）總體來說利用SRR-wire震蕩的超材料還是有體積大，帶寬窄的缺點，以后我們有機會再介紹其他不用震蕩的左手材料結構。
[1] Chen, X.,Grzegorczyk, T. M., Wu, B.-I., Pacheco, J., & Kong, J. A. (2004). Robustmethod to retrieve the constitutive effective parameters of metamaterials.Physical Review E, 70(1). doi: 10.1103/physreve.70.016608
[2] David Smith et al.; Electromagnetic parameter retrievalfrom inhomogeneous metamaterials: Phys. Rev. E 71, 036617 (2005).
